众所周知，凯利公式是最大化赢钱博彩玩家资金增长率的最有效金钱管理策略。Pinnacle（平博）的博彩资源版块已经发表了数篇文章，对凯利公式的用途、运作方式以及优缺点做了探讨。我会在本文中对投注方法进行简单的风险评估。

凯利公式是什么？

Pinnacle（平博）作者兼马耳他大学数学家将描述为当投注的赔率高于预期时，计算你自己的投注资金比例以使自身的资金呈指数级增长的方法。

1956年，约翰·凯利在AT&T贝尔实验室工作时提出了凯利公式。这个公式提供了经济上合理且数学上精准的方法来计算最优投注金额，考虑了回报和风险的预期比率，从而能够最大化投资金额的总体增长率。这由下方的简单等式得出：

凯利投注百分比 = 优势 – 1 / 赔率 – 1

优势就是你拥有（或者你认为自己拥有）的胜过博彩公司实际投注赔率的优势。例如，如果你认为某个结果的公平赔率为2.00（成功概率为50%），但是博彩公司提供的赔率为2.10，那么可以计算出你的优势为2.10/2.00 = 1.05。

“优势”不过是描述的另一种方式。上方等式中的赔率应该采用十进制记数法显示。因此，本例中的凯利投注百分比为0.05或5%。

凯利公式是众多比例投注方法（投注金额是你现有资金的一定比例）的其中一种，因此会随着你的总资金增减而增减。与之相反的是固定投注方法，这种方法使用预先决定的固定投注金额。

凯利公式的特别之处在于其考虑了你察觉到的优势多寡和投注赔率的大小。你的优势越大以及/或者投注赔率越小，你会冒险投下的本金就越大。

当你同时投注在多于一个结果或比赛上时，计算凯利投注百分比显然会遇到一些问题；Pinnacle（平博）之前已经发表了一篇关于如何解决这些问题的文章。不过在本文的剩余部分中，我只会考虑适用于一次进行一个投注的简化凯利公式。

凯利公式存在着多大的风险？

作为一种比例资金管理策略，凯利公式原则上绝不会让你破产，这一点应该是不言而喻的。你输的越多，投注的金额就变得越小，但是理论上永远不会归零。 

不同于基于已知数学算法的娱乐场游戏，“知道”诸如足球比赛这样复杂系统的真实概率基本上不可能。

然而在实际博彩中，显然你会有一个无法接受的损失限制。因此，更合适的做法大概是考虑你的资金总额的变化，以及你的风险偏好是否稳固到足以应对这些变化。

Pinnacle（平博）的特约作家以及股票交易员Joe Peta凯利公式的问题在于“无论你计算出的预期回报如何，你得出的变化都会高得离谱……并且……无法投资。” 他举了这样一个例子：博彩玩家投注赔率2.00，理论赢率为52%。凯利公式暗示投注百分比应为4%。 

假设进行了250个投注，Peta声称你的资金最终减少至少40%的可能性高于10%。他说的对吗？ 

看起来八九不离十。使用这些参数进行了10,000次之后，14%的资金最后比开始时少了超过60%。相较而言，只有9%的固定投注策略发生了这种情况（假定初始资金为100个单位，250个投注中的每一个都投下4个单位）。

下表图示了凯利公式和固定投注的更大范围比较。正如我在早前一篇文章中所述，尽管比例投注方法能够更好地优化利润率（在这个模拟中，凯利公式和固定投注的平均最终资金分别为149和140个单位），但是也需要更多的时间从长期损失中恢复。

以损失告终的最终资金金额的比例越大，不过是比例投注方法导致的资金变化越大的结果。接近十分之四的凯利投注模拟以损失告终，而固定投注模拟中仅为四分之一。

凯利公式比较

如果我们掌握的优势更大，风险又会如何变化呢？我将每个等额赔付投注上的赢率设为54%，凯利投注为8%，然后重新进行了模拟。能够长期达到这些数据的博彩玩家可以说是凤毛麟角。

无需多做解释，如果你认为自己会赢得52%的等额赔付投注，但是其实你只赢得其中的49%，那么长期来看你一定会输钱。

不难理解，每个投注上的优势或预期价值加倍之后，凯利公式的预期利润率现在大大高于固定投注（平均最终资金分别为494和260）。不幸的是，这仍然是以相当可观的表现变化为代价。

平均或者预期最终资金更高的原因是少量大额最终资金导致的偏斜。然而，平平无奇或者以损失告终的最终资金数量远远多于固定投注策略，最终资金中位数仅为223。如果你使用凯利策略，优势为8%，那么在250个等额赔付投注后输掉40%资金的概率仍为14%。毫无疑问，Joe Peta一定会说如果一个自重的金融投资家能够做到8%的投资回报率，他绝不会接受这样高的风险。

凯利公式比较

我们真的知道自己的优势所在吗？

这些模拟假设我们确切知道获胜概率，并因此确切知道我们有哪些胜过博彩公司赔率的优势。然而正如Joe Peta提醒我们的一样，为体育博彩结果建模并非二十一点数牌那么简单。

不同于基于已知数学算法的娱乐场游戏，“知道”诸如足球比赛这样复杂系统的真实概率基本上不可能。对于不能精确知道胜过博彩公司赔率的优势如何影响凯利策略取得成功，我最近在Twitter推送上进行了讨论。我决定找出这些影响会是什么。

使用凯利公式决定投注金额并管理其风险时，只需要准确地了解你的平均优势。

无需多做解释，如果你认为自己会赢得52%的等额赔付投注，但是其实你只赢得其中的49%，那么无论你采用哪种投注方法，长期来看你一定会输钱。这里更值得研究的是，如果不精确知道每个投注的优势是否会增加凯利公式的变化和风险。

长期投注历史会让帮助你了解自己的平均优势是什么。如果1,000个€1投注的回报为€1,050，那么你可以合理地假设你的平均优势为5%。另一个估计优势的方法是将你投注的赔率和市场收盘赔率相比较。

如果你在2.10的赔率上投注，Pinnacle（平博）收盘赔率为2.00，那么我的数据分析暗示你有5%的优势（减去投注抽水）。但是这种分析是基于大量足球比赛的汇总。虽然可能暗示出了平均优势，但是我们不能因此假设每个投注上都是这样。考虑到有那么多的不确定因素影响体育赛事的结果，因此假设每个投注上并非如此是相当合理的。

我再次进行了250个等额赔付投注的蒙特卡罗模拟。不过这一次我没有为每个投注设置52%的固定赢率，而是根据赢率的正态分布不停地变化。虽然平均值为52%，不过特定的数值在该值上浮动。有些更高，有些则更低。

我使用了5%的标准偏差，即大约三分之二的值在47%到57%之间，95%的值在42%到62%之间。事实上大约三分之一低于50%，因此可知它们的预期价值为负。 

结果令人惊诧。尽管三分之一的投注预期价值为负，然而凯利策略的相应风险实际上没有改变。本质上来看，这就是说只要你对自己的总体优势有着明确清楚的了解，那么是否精确地了解自己在每个投注上的优势并不重要。 

凯利公式比较

凯利1——明确知道每个投注上的优势。凯利2——知道平均优势，但是不知道每个投注上的特定优势。

为了测试该结论的有效性，我又进行了一次模拟，其中大幅增加了预期价值为负的投注数量。

250个投注中有230（92%）的赢率设为49%，基本等于Pinnacle（平博）在其流行双向或三向投注市场上的投注抽水。剩余的20个投注上设置了86.5%的赢率，确保250个投注的平均赢率仍为52%。结果完全一样。

当然，实际生活中如果博彩玩家在92%的投注中都找不到任何价值的话，那么也不太可能有办法在剩余8%的投注中找到巨大盈利预期。但是这个测试仍旧进一步证明了之前得出的观点：使用凯利公式决定投注金额并管理其风险时，只需要准确地了解你的平均优势。

对于大多数博彩玩家而言，更难解决的问题是找到任何优势。实在太容易被和所欺骗，两者都会让博彩玩家相信自己比真实情况更优秀。不出所料，如果等额赔付投注只有49%的赢率，使用4%的凯利投注策略更可能导致失败（在250个等额赔付投注后损失的概率为四分之三，相较而言固定投注的概率只有五分之三）。